一个多月了，陈航已经完成高中语文，同时英语语法框架早已搭建完毕，如今就是不断地进行单词库的补充。而陈航的能力，对于初高中那点词汇量，早已完成。

    如今，陈航也是临近高中数学的结尾了。

    过去的日子，陈航构建完他自己的体系框架，便开始刷题。

    这也没花多少时间。

    就比如那些基础题，只扫过一眼就能够得出答案。

    对于中档题，也不过停留一两秒，就可以将这道题的所有解法给想出来了。

    如今，已经是进入刷题冲刺的结尾阶段，难题和顶尖难题。

    此刻的陈航，就是在解决这些题。

    而陈航的实力也是没有被这些难题难住。

    比如这样一道题：

    如图所示，已知抛物线x2=y，点a(-1/2，1/4)，b（3/2，9/4），抛物线上的点p（x，y）。过点b作直线ap的垂线，垂足为q。

    (1) 求直线ap斜率的取值范围；

    (2) 求丨pa丨·丨pq丨 的最大值。

    这是一道非常经典的解析几何压轴题，融合了直线、抛物线、垂直关系以及平面向量的数量积，通常作为试卷的倒数第二题或者压轴题出现，目的是筛选掉那百分之九十五的普通学生。

    然而这对于陈航来说，却是享受。

    第一问，直线ap斜率。

    点p在抛物线上，坐标参数化。直线斜率公式k=(y2-y1)/(x2-x1)。这是一个简单的代数分式，结合p点横坐标的范围（-1/2，3/2），直接代入求值域。

    没有难度，直接计算就能得出k∈(-1，1)。

    像这样的题目第一问几乎完全没有难度，只要基础知识过关，分数是必得的。

    难的是第二问。

    这道题第二问难度还好，就陈航就能想到有多种做法。

    第一种做法，蛮力破拆。

    经典的设方程、联立、韦达定理、代入条件公式计算。也就是设出直线ap的方程，联立抛物线方程，利用韦达定理得出x1+x2。然后利用勾股定理丨bq丨2+丨aq丨2=丨ab丨2，结合弦长公式计算丨ap丨=丨x1-x2丨·√（1+k）2、点到直线的距离公式计算丨bq丨、丨pq丨=丨aq丨-丨ap丨即可得到丨pa丨·丨pq丨=（1-k2）·（1+k）2，结合k∈(-1，1)求导即可计算得出最大值。

    第二种做法，相关点法。

    既然点a坐标已知，可以把相关点的坐标都求出来。设出直线ap的方程，同样的联立同样的韦达定理得出x1+x2=k，而其中的一个点a坐标就是一个解，如此如果设点a（x1，y1），p（x2，y2），q（x3，y3），那么x2=k+1/2，利用直线ap的方程计算出y2，即可用k表示p的坐标。而q可以用直线ap表示为（x3，k（x3+1/2）+1/4），利用aq⊥bq，那么利用向量aq与向量bq为0进行计算，最后也能算出k表示q的坐标。最后利用两点间距离公式得出丨pa丨和丨pq丨，然后计算，之后步骤同解法一。

    第三种做法，参数方程法

    根据抛物线的参数方程，可以设p（t，t2）（t∈（-1/2，3/2）），q（x3，y3）。如此两点间距离公式得丨ap丨=（t+1/2）√（t2-t+5/4），接下来就是利用aq⊥bq，ap与aq共线，那么用向量的方式表示，利用斜率公式列出方程组。最终能计算出点q的横坐标x3，进一步即可求出丨pq丨，最后可以计算出丨pa丨·丨pq丨=1/16·（-16t?+24t2+16t+3），依旧是求导计算单调性和最值即可。

    第四种做法，几何视角的圆方程辅助求解

    既然∠aqb=90°，那么点q一定在以ab为直径的圆上。以ab为直径的圆e：（x-1/2）2+（y-5/4）2=2，由直线ap方程联立圆e，即可解得q的坐标，也是k表示。根据圆幂定理或者弦长几何关系，可以求出p点坐标，从而得出丨pq丨，最后计算与第一种做法和第二种做法得到一样的方程，后续步骤也一样。

    第五种做法，一些小知识的运用，向量数量积的几何意义。

    因为丨pq丨是向量pb在向量pq上的投影，所以丨pa丨·丨pq丨=-向量pa·向量pq=-向量pa·向量pb，然后依旧是参数方程的设法设p（t，t2）（t∈（-1/2，3/2）），再用两点间距离公式得到关于t的四次方程，依旧是求导计算单调性即可。

    第六种做法，在第五种做法的基础上，继续化简，一般称为计划恒等式。同样是用投影来到最后的那一步丨pa丨·丨pq丨=丨-向量pa·向量pb丨，此时去ab中点为，由极化恒等式可得向量pa·向量pb=向量p2-向量b2，由此a，b为定点，向量b模长就是定下来的，那么只需要计算向量p的模长最小值，也就是p到的最小距离，即可得到丨pa丨·丨pq丨的最大值。这就转化成了求抛物线上一点到定点的距离最值问题。设圆与抛物线相切，联立方程，判别式等于0，或者直接用几何法求法线。最终能直接计算得出结果。

    六种做法，从代数硬算到几何巧解，再到向量与极化恒等式的降维打击。这就是数学的魅力，也是陈航建立的体系的力量，能够把知识关联起来，让陈航做题的时候武器库丰沛，总能找到多种做法，并找出最优雅的那条路径，于复杂中看清本质。

    普通学生看到的是题目，他看到的是结构。

    普通学生在迷宫里找路，他在空中俯瞰迷宫。

    从解三角形刷到函数，从解析几何刷到立体几何，从不等式刷到组合数学，从导数刷到新定义……

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