【第三题（45分）】
【设f:??是严格递增函数，满足f=1且对任意正整数n，有f)=f+n。求f的表达式。】
江辰扫了一眼。
“函数方程题，经典题型。”
他几乎没思考，直接写：
“解：先求前几项。由f=1，代入n=1得f)=f+1，即f=1+1=2，矛盾因为f=1，所以f)=f=1，右边f+1=2，1=2矛盾”
江辰愣住了。
“题目出错了”
他重新读题：“f:??是严格递增函数，满足f=1且对任意正整数n，有f)=f+n。”
代入n=1：f)=f+1f=1+1=2，但f=1，矛盾。
“这……”
江辰皱眉。
三秒后，他明白了。
“哦，f=1，但f)=f吗不，f=1，所以f)=f=1，右边应该是1+1=2，確实矛盾。”
“除非……题目中的?是正整数，但可能包含0或者f=1是初始条件，但函数方程对n≥2成立”
他继续往下想。
“先假设题目没错，那么矛盾说明我的推理有问题。f)=f+n，当n=1时，f)=f+1=2，所以f)=2。”
“而f=1，所以f=1，那么f)=f=1，但需要等於2，所以必须f≠1可题目明確说了f=1。”
江辰感觉脑子有点乱。
“这题……有问题”
他决定先跳过，看第四题。
【第四题（45分）】
【设p是奇素数，a?,a?,…,a_p是整数。证明：存在整数k（1≤k≤p）使得∑_{i=1}p 2能被p2整除，这里下標模p理解（即a_{p+1}=a_1等）。】
江辰看完，眼睛一亮。
“数论组合题，有点意思。”
“∑2 = ∑a_{i+k}2 - 2∑a_{i+k}a_i + ∑a_i2 = 2∑a_i2 - 2∑a_{i+k}a_i，因为∑a_{i+k}2=∑a_i2。”
“所以要证存在k使2∑a_i2 - 2∑a_{i+k}a_i ≡ 0 od p2，即∑a_i2 ≡ ∑a_{i+k}a_i od p2/2不对，模p2。”
“即证存在k使∑a_{i+k}a_i ≡ ∑a_i2 od p2。”
“记s_k = ∑a_i a_{i+k}，要证存在k使s_k ≡ s_0 od p2，其中s_0=∑a_i2。”
“这等价於证存在k使s_k - s_0 ≡ 0 od p2。”
“考虑所有k的s_k之和或者用多项式方法……”
江辰脑子飞速转动。
十秒后，他有了思路。
“用傅立叶变换（离散傅立叶变换）。”
“设a=∑a_i xi（多项式），则s_k是aa中xk项的係数不对，循环卷积。”
“实际上，s_k = ∑a_i a_{i+k}是序列{a_i}的自相关函数。”
“要证存在k使s_k ≡ s_0 od p2。如果所有s_k ≡ s_0 od p2都不成立，那么所有s_k - s_0 ≡ 0 od p2都不成立……”
“用反证法：假设对所有k都有s_k ? s_0 od p2，则s_k - s_0 ≡ r_k od p2，其中r_k是1到p2-1之间的数。”
“考虑∑_{k=1}p= ∑_k ∑_i a_i = ……”
江辰在草稿纸上快速计算。
两分钟后，他找到了关键等式。
“有了！∑_{k=1}p s_k = p∑a_i2，所以∑_{k=1}p= p∑a_i2 - p∑a_i2 = 0。”
“但如果每个s_k - s_0都不被p2整除，它们的和模p2不可能为0，矛盾。”
“所以存在k使p2整除s_k - s_0。”
“严谨化：设b_i = a_i od p，考虑模p下的序列{b_i}，用类似论证可得存在k使∑b_i b_{i+k} ≡ ∑b_i2 od p，然后提升到模p2……”
四分钟，第四题搞定。
江辰看了眼时间：9:50。
第四题做完，还剩第三题。
他回过头看第三题。
“函数方程f)=f+n，f严格递增，f=1。”
“代入n=1得f=2，矛盾。所以要么题目错了，要么我的理解错了。”
江辰想了想，突然灵光一闪。
“等等，f是??，?通常指正整数，但有时也包含0。如果包含0，那么f可能存在。”
“设f=c，则f)=f=f+0=c，所以f=c。”
“由f严格递增，f=c，f=1，如果c＜1，则f＜f，但0＜1，可以。c必须是整数，所以c=0。”
“那么f=0，f=1，代入n=1：f)=f+1=2，所以f=2但f=1，矛盾。”
“还是矛盾。”
江辰皱眉。
“除非……f不是1但题目明確说了f=1。”
他决定换个思路。
“假设f=1，那么f)=f=1，但方程要求f)=f+1=2，矛盾。”
“所以题目一定有印刷错误或者?是自然数集包括0，且f=1”
“设f=1，那么f是多少由严格递增，f＞f=1。”
“代入n=0：f)=f=f+0=1，所以f=1，但f＞1，矛盾。”
“也不行。”
江辰感觉这题像个死胡同。
他看了眼时间，9:52。
“算了，先按標准方法解，假设f=1成立，忽略n=1的矛盾。”
“令g=f-n，则方程变为f)=f+nf)=n+g+g=n+2g。”
“但f)又等於f)=f+n=n+2g，自洽。”
“由严格递增，g非负且递增不一定。”
“尝试求前几项：设f=1，则f)=f=1，但方程要求等於2，所以矛盾。跳过n=1。”
“从n=2开始：f)=f+2，设f=a，则f=a+2。”
“由严格递增，f=1＜f=a，所以a≥2。”
“f=b，则f=b+3，且b＞a≥2。”
“继续推导……”
江辰在草稿纸上列出一串等式。
两分钟后，他猜出了答案。
“f = φn + ψ，其中φ是黄金比例/2不对，必须是整数函数。”
“实际上，经典解是f=?φn?或类似形式，但需要验证。”
他快速验证了一下。
“设φ=/2≈1.618，则φ2=φ+1。”
“如果f=?φn?，则f)=?φ?φn??≈φ2n=φn+n=f+n，近似成立。”
“但严格成立需要数论性质，这是经典的beatty序列。”
江辰决定直接写答案：
“解：f=?φn?，其中φ=/2，且n≥1时成立。验证：由beatty定理，?φ?φn??=?φ2n?=?n?=?φn+n?=?φn?+n=f+n，当φn不是整数时成立，而φ是无理数，φn永不为整数，故等式成立。”
“但需要验证严格递增：显然。”
“f=?φ?=1，满足。”
写完，江辰鬆了口气。
“这题真他妈绕。”
看了眼时间：9:55。
四道题，十五分钟搞定。
这时候交卷，会不会太早了些
且阅卷老师看了，会不会不够惊艷
不行，还得露一手。
江辰没有立马交卷，而是又將目光投向最后一道压轴题。
“这题，解法有很多，刚才只是用了最常见的一种！”
“还有第二种……”
“第三种……”
五分钟后。
10:00整。
他举手。
“老师，交卷。”
……
考场里一片寂静。
所有人抬起头，看著江辰，眼神复杂。
有惊讶，有疑惑，更多的是……不屑。
“又交卷”
“二十分钟，他能做什么”
“估计是一道都不会，乾脆放弃了。”
“浪费名额，真是……”
秦墨坐在第一排，抬头看了江辰一眼，眼神冷淡。
他刚刚做完第一题，正在做第二题。
二十分钟，江辰交卷
除了放弃，他想不出別的可能。
“看来，之前高看他了。”
秦墨心里冷笑，“月考满分又怎样竞赛是另一个世界。”
他低下头，继续做题。
……
刘月老师接过江辰的试卷，手都在抖。
她快速扫了一眼。
第一题，全对。
第二题，全对，解法比標准答案更优。
第三题，虽然一开始有疑惑，但最后给出了正確解。
第四题，全对，用了傅立叶变换和模运算，思路惊艷。
且还有第二种解法，第三种解法……
而且……四道题，二十分钟。
“同……同学，”刘月声音发颤，“你……你真的要交卷了”
“嗯。”江辰点头，“可以走了吗”
“可……可以。”
江辰转身离开。
刘月看著他的背影，又看了看试卷，感觉自己像是在做梦。
……
考场外。
周大鹏看到江辰出来，眼珠子都快瞪出来了。
“江辰你……你怎么又出来了”
“做完了。”江辰说。
“二十分钟做完了”周大鹏声音都变了，“江辰，这可是二试！四道大题，180分！”
“知道啊。”江辰一脸无辜，“题不难，就做快了点。”
周大鹏张了张嘴，半天没说出话。
旁边，江城一中的王老师和二中的李老师对视一眼，都笑了。
“周老师，你们这学生……挺有个性啊。”王老师阴阳怪气。
“二十分钟交卷，这速度……怕是连题目都没看完吧”李老师也嘲讽。
周大鹏脸色难看，但没反驳。
他心里也在打鼓。
江辰……该不会真的没做完吧
“江辰，”周大鹏把江辰拉到一边，压低声音，“你跟老师说实话，你真的做完了还是……不会做，放弃了”
“做完了。”江辰说，“周老师，您不信我”
“不是不信……”周大鹏苦笑，“只是这速度……太夸张了。”
“放心，”江辰拍拍周大鹏的肩膀，“等成绩出来，您就知道了。”
说完，他转身回酒店了。
周大鹏站在原地，心情复杂。
他既希望江辰说的是真的，又觉得这太不可思议。
……
时间一分一秒过去。
考场里，考生们还在苦战。
秦墨做完第二题，看了眼时间：10:50。
已经过去70分钟了。
他擦了擦额头的汗。
这次二试的难度……远超他的预期。
尤其是第三题和第四题，他到现在还没思路。
“不管了，先保证前两题全对。”秦墨深吸一口气，开始检查。
而此刻，江辰已经在酒店房间里，悠閒地刷著手机。
系统提示音时不时响起。
【叮！收到惊艷值+20！】
【叮！收到惊艷值+30！】
光监考老师一人，就给他贡献了不少惊艷值。
“这才刚开始，”江辰嘴角上扬，“等成绩出来……那才叫炸场。”
……