伯克利基数（BerkeleyCardal），伯克利基数是集合论中一种极强的大基数公理，在ZF集合论（不包含选择公理AC）框架下定义，由Wood等人于20世纪90年代提出。它比Rehardt基数更强，且与选择公理完全不兼容。

    一、严格定义，一个基数κ被称为伯克利基数，当且仅当：对任意以κ为成员的传递集合M，以及任意序数α＜κ，存在一个非平凡初等嵌入j:M→M，使得其临界点crit(j)满足α＜crit(j)＜κ。

    传递集：若x∈M且y∈x，则y∈M，保证集合结构的“良好基础性”。

    初等嵌入：保持所有一阶逻辑公式的真值，j(M)≡M。

    非平凡：j不是恒等映射。

    临界点：最小的被j移动的序数，即crit(j)={α|j(α)≠α}。

    通俗理解：包含κ的任何传递模型M，在小于κ的任何序数之上都存在“自嵌入”点，这些点能移动模型内部元素而不破坏其基本结构。

    二、核心性质：1.与选择公理不相容：伯克利基数的存在直接否定AC，这是其最显着特征。

    2.强度层级：伯克利基数＞Rehardt基数＞超Rehardt基数＞可扩基数＞超紧致基数等传统大基数。

    3.局部自嵌入性：包含κ的任何传递模型都有大量非平凡自嵌入，反映集合论宇宙在κ附近的“柔韧性”。

    4.极限特性：伯克利基数通常是极限基数，且最小伯克利基数具有共尾性ω（即可表示为可数个更小基数的极限）。

    5.模型论意义：对力迫扩张具有某种绝对性，限制集合论宇宙的“可塑性”。

    三、历史与研究背景：1.提出，1990年代由Wood等人在研究选择公理与大基数相互作用时提出，命名源自加州大学伯克利分校。

    2.动机，探索选择公理不成立时集合论宇宙的结构，寻找比Rehardt基数更强的大基数公理。

    3.研究进展，2018年Cutolo研究L(V_δ+1)模型在伯克利基数假设下的结构特性。

    近年发现AD?公理蕴含ω?是某种弱化形式的伯克利基数（cbΘ-Berkeley）。伯克利基数与Vopěnka原理等强模型论原理存在深刻联系。

    四、变体与弱化形式：1.原始伯克利基数，对任意传递集M?κ，存在j:M→M，α＜crit(j)＜κ（α固定）。

    2.HOD-伯克利基数，限制M为HOD（遗传序数可定义集）中的传递集。

    3.cbλ-伯克利基数，对大小＜λ且包含κ的传递集N，存在κ的闭无界子集C，使C中每个点都是N的自嵌入临界点。

    4.秩伯克利基数，限制M为V_α（冯·诺依曼层）等特定秩初始段。

    五、理论意义：1.集合论基础，揭示选择公理在大基数层级中的核心地位，展示无选择公理集合论宇宙的丰富性。

    2.模型论工具，提供分析集合论模型自嵌入性质的框架，推动模型论与集合论交叉研究。

    3.哲学启示，挑战传统“集合宇宙刚性”观念，暗示数学宇宙可能存在高度“灵活性”结构。

    六、注意事项：1.伯克利基数仅在ZF（无选择公理）中定义，在ZFC中不存在。

    2.其一致性强度远超传统大基数，目前无法通过已知大基数公理证明其相对一致性。

    3.研究伯克利基数需使用特殊技术，如内模型L(V_δ+1)、AD?公理等替代选择公理的框架。

    伯克利基数代表当代集合论中对“无限”概念的前沿探索，其研究成果持续深化对数学基础的理解。

    ZF（无AC）下）。

    一、伯克利系（从弱到强）：1.秩伯克利基数（Rank-Berkeley），仅对V_δ这类秩初始段要求自嵌入，强度最弱。可由Rehardt基数推出。

    2.Θ-伯克利/cb-伯克利/ω-cb-伯克利，限制传递集大小＜Θ，或临界点落在闭无界集C中。AD?可推出ω?是cbΘ-伯克利。

    3.HOD-伯克利基数，仅对HOD（遗传序数可定义集）内的传递集M要求自嵌入。

    4.标准伯克利基数（Berkeley），对所有包含κ的传递集M都要求自嵌入，临界点可任意逼近κ。

    5.极限伯克利/cb-极限伯克利，既是伯克利，又是更小伯克利的极限；或cb-伯克利的极限。

    二、整体大基数层级（含伯克利），从传统大基数一路到最强：不可达→马洛→弱紧→可测→强→Wood→超紧致→可扩，Rehardt（V→V嵌入），秩伯克利，-Θ-伯克利/cb-伯克利，HOD-伯克利，标准伯克利，极限伯克利/cb-极限伯克利。

    三、关键结论：伯克利严格强于Rehardt，且与选择公理AC不相容。所有伯克利变体都在ZF框架下研究。

    伯克利基数是ZF集合论中一类极强的大基数，由HughWood在1992年于伯克利大学的研讨会上提出。以下是从低到高的伯克利基数层次结构，基于一致性强度与定义强度排序：一、基础伯克利基数：1.proto-Berkeley基数：最弱的伯克利类型基数，定义为对任意包含κ的传递集M，存在非平凡初等嵌入j:M→M，其临界点crit(j)＜κ。最小的proto-Berkeley基数δ?同时也是最小的伯克利基数。

    2.α-proto-Berkeley基数(δ?)：对任意包含κ的传递集M，存在非平凡初等嵌入j:M→M，其临界点满足α＜crit(j)＜κ。对每个α，δ?是大于α的最小伯克利基数。