（本人非竞赛生，非数学系，下面题目要是思路和答案错了请指正。）

    （叠甲叠甲，狗头保命jpg）

    映入眼帘的是一道数论题。题面不长，但深深的突出那句条件越少，证明越难的话。这道题显然比之前的题目又提升了一个层次，同时这道题，必定让陈航的数学天赋展现在老师们面前。

    题目：证明对于正整数n，(205n-2)/(3n+47)一定不是整数。

    陈航盯着这行字，足足看了两分钟。

    办公室里的空气仿佛都凝固了。几位老师屏住呼吸，目光在陈航和墙上的时钟之间来回移动已经第48分钟了。

    “来了道硬菜。”陈航暗自心想。

    “这道题……我记得是某年某国io选拔赛的原题。”一位老师回忆着。

    陈航拿起笔，在草稿纸上沙沙沙的，尝试计算。

    分子：20x5? - 2 = 2x(10x5? - 1) = 2x(10x5? - 1)

    分母：3? + 47

    因为要证明分数不是整数，等价于证明分子不能被分母整除。

    或者说，证明分子模分母不为0。

    模运算……这是数论的基本工具。

    陈航的笔尖在草稿纸上快速移动：

    设  = 20x5? - 2, d = 3? + 47。

    需要证明  od d ≠ 0。

    他考虑模d下的计算。但d本身与n有关，这增加了难度。

    换个思路：如果这个分数是整数，设为k，那么：

    20x5? - 2 = k(3? + 47)

    整理得：20x5? - kx3? = 2 + 47k。

    这是一个关于5?和3?的方程。由于5和3互质，它们的幂增长速率不同……

    陈航停下笔，眉头微皱。这个方向似乎很复杂。

    时间到了第55分钟。

    办公室外隐约传来喧闹声，第四节课下课了，学生们涌向食堂。但数学组办公室里的几个人，仿佛与外界隔绝。

    “他卡住了。”年轻老师小声说。

    “正常，这道题需要一些巧妙的模运算构造。”花白头发老师摸着下巴，“关键是要找到合适的模数来导出矛盾。”

    史言哲依然沉默。他注意到陈航的草稿纸上已经写了好几种思路，但都被划掉了。这学生正在多角度尝试，没有钻牛角尖，这是好习惯。

    陈航放下笔，闭上眼睛。

    脑海中的数字开始跳舞。20、5、2、3、47……这些数字之间有什么内在联系？

    47……47是质数，3? + 47，当n较大时，这个数的主要部分是3?。但模运算中，我们常考虑模一个小素数……

    突然，陈航睁开眼睛。

    他想起数论中一个常见技巧：为了证明a不被b整除，可以考虑a和b模某个数的情况。如果a≡0 od 而b不≡0 od ，或者反过来，那么a肯定不能被b整除。

    关键是要找到合适的。

    他重新审视表达式：(20x5? - 2) / (3? + 47)

    5?模4是多少？5≡1 od 4，所以5?≡1 od 4。

    那么20x5? ≡ 20x1 ≡ 0 od 4。

    所以20x5? - 2 ≡ 0 - 2 ≡ 2 od 4。

    再看分母3? + 47。

    3?模4：3≡ -1 od 4，所以3? ≡ (-1)? od 4。

    那么3? + 47 ≡ (-1)? + 47 od 4。

    47≡3 od 4，所以(-1)? + 47 ≡ (-1)? + 3 od 4。

    分情况讨论：

    如果n是偶数，(-1)? = 1，则分母≡ 1+3=4≡0 od 4。

    如果n是奇数，(-1)? = -1≡3 od 4，则分母≡ 3+3=6≡2 od 4。

    分子总是≡2 od 4。

    分母：n偶时≡0 od 4，n奇时≡2 od 4。

    如果分数是整数，设为k，那么分子 = kx分母。

    在模4意义下：2 ≡ kx分母(od 4)。

    当n偶数时，分母≡0 od 4，那么右边kx0≡0，但左边是2，矛盾！

    所以n为偶数时，不可能是整数。

    很好！解决了一半！

    办公室里的老师们已经看到了陈航草稿纸上的推导。花白头发老师眼睛一亮：“漂亮！用模4就排除了偶数情况！”

    “但还有奇数情况要处理。”年轻老师提醒。

    陈航显然也意识到了这一点。他继续思考n为奇数的情况。

    ……

    叶锐锋：“没想到下课了航神还没有回来。”

    刘梓豪：“是啊，航神不愧是航神，测试都那么久。”

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    宋莳雨：“我有点担心，不至于做那么久的测试吧？”

    林薇：“急什么莳雨，陈航什么水平我们不是最清楚了吗？”

    黄溪念：“我倒是有些好奇，是什么题目能做一节课到吃午饭了都不去，一定是有意思的题目。”

    周育成：“你们说会不会是竞赛题？”

    张启山：“很有可能，是这个学校老师做得出来的。”

    十几人边去食堂的路上边聊。

    时间到了第65分钟。

    办公室外的喧闹声渐渐平息——大部分学生已经去了食堂。但办公室里，没有一个人提出要去吃饭。

    “要不……先去吃饭？”一个老师小声提议。

    “等等，看他怎么处理奇数情况。”史言哲难得开口，目光始终没有离开陈航的草稿纸。

    陈航正在尝试模其他数。

    模3？5? od 3：5≡2 od 3，5? ≡ 2? od 3。

    分子：20x5? - 2 ≡ 20x2? - 2 od 3。

    20≡2 od 3，所以分子≡ 2x2? - 2 = 2(2? - 1) od 3。

    分母：3? + 47 ≡ 0 + 47 ≡ 47 ≡ 2 od 3（因为47=3x15+2）。

    如果分数是整数k，那么分子 ≡ kx分母 ≡ 2k od 3。

    所以2(2? - 1) ≡ 2k od 3，即2? - 1 ≡ k od 3。

    这似乎没有直接矛盾。

    模5？

    ……

    第70分钟。

    他尝试了模3、模5……都有进展，但都没有得到像模4那样干净利落的矛盾。

    “需要更巧妙的构造。”花白头发老师低声说，“模4解决了一半，但另一半……我记得原题解法是……”

    突然，花白头发老师还没说完，陈航就动了。

    只见前几分钟，陈航盯着自己的草稿和题目，突然间，陈航的思路就如同吃了巴豆一般畅通无阻，就像柯南射激光那般，瞬间想到了怎么做。

    n=4k＋1时，

    分子：5?(20x5??2)

    分母：3? + 47=3(4k+1)+47=381?+47≡3+47 （od 5）=0（od 5）

    因而这种情况也证明出了式子不为整数。

    陈航稍微思索了一会，没问题，然后又想了几秒钟，就剩下最后一种情况，n=4k+3

    但很快，陈航就找到了思路，反证法！

    假设3? + 47 | 20x5??2，考虑任何的3? + 47其中的一个素因子，p | 3? + 47，p为奇素数

    由此p | 20x5??2，因此 20x5? ≡ 2 od p

    205（4k+3）≡ 2 od p，45（4k+4）≡ 2 od p，25（4k+4）≡ 1 od p

    令a=5（2k+2），则2a2 ≡ 1 od p，（a?1）2 ≡ 2od p

    从二次剩余的角度来讲，2作为奇素数p是一个二次剩余。

    什么样的奇素数p能满足呢？p=8±1

    从而3? + 47所有的奇素数也一定是8±1形式，进而3? + 47=2q，q ≡ ±1 od 8

    又n=4k+3，3? + 47=2781?+47，且16 | 80，因此3? + 47=27+47 od 16 =74 od 16 = 10 od 16，进而（3? + 47）/2 ≡ 5 od，与 （3? + 47）/2 ≡ ±1 od 8矛盾！

    至此，证毕！

    陈航把这个思路一点一点严谨的写进答题纸上。

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